El número de oro

A tí, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A tí, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el universo armónico origina.
A tí, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco flores regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A tí, divina proporción de oro.

(Rafael Alberti)



“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo debemos denominar una joya preciosa, el segundo lo podemos comparar a una medida de oro”
(Johannes Kepler)






Tomemos un segmento de recta y dividámoslo en 2 de tal forma que la relación de la parte mayor entre la menor sea la misma que la relación de todo el segmento entre la parte mayor esto es matemáticamente:
Suponiendo que la longitud del segmento más corto es 1 y que la del segmento más largo es x, llegamos a la ecuación:
Cuyas soluciones simétricas son




El segundo valor es conocido como la razón áurea o número de oro y se simboliza con la letra griega φ (fi), y posee cualidades realmente interesantísimas y aparece reiteradamente en el arte, la naturaleza y las matemáticas, no ha faltado a lo largo de la historia quien afirme que este número es una clave para conocer a Dios




Por ejemplo en un pentágono regular la relación entre un lado y una diagonal es igual a φ

También los segmentos DF, FB Y DB conservan la proporción áurea
El rectángulo áureo
Un rectángulo de oro es aquel en el que la relación entre sus lados es igual a φ, su construcción parte de un cuadrado ABCD, después se toma el punto medio F de AD como centro de un circulo cuyo radio es la diagonal FC, se extiende la línea AD hasta su intersección con tal circulo (G), tomamos AG como base de nuestro rectángulo de oro y trazando ángulos perpendiculares obtendremos el lado GH.



Una propiedad curiosa de los rectángulos de oro es que si colocamos 2 de ellos ABCD y BGFE como se ve en la figura la diagonal DG pasara por E.


Además de que AGHD será un nuevo rectángulo de oro


Φ aparece en las proporciones del Partenón, por ejemplo en AB/CD, AC/AD Y CD/CA

Leonardo Da vinci utilizo conscientemente la proporción de oro, por ejemplo en el hombre de Vitruvio , además de que ilustro el libro Divina proportione que Luca Pacioli dedico al número de oro

Ilustración de Da Vinci para Divina proportione

En San Jerónimo, lienzo inacabado de Leonardo Da Vinci, el santo encaja tan perfectamente en un rectángulo de oro que se piensa que esto se realizo intencionalmente, la teoría se ve reforzada por los amplios intereses de Da Vinci.

La espiral logarítmica


Un espiral logarítmica es una curva que cumple la ecuación
ρ = abθ
en coordenadas polares, donde θ es el ángulo y ρ es el radio. El término a es un factor de escala, y el término b determina el ritmo al que el radio crece en función del ángulo. Al estar este término b elevado al ángulo θ, la distancia entre sus brazos aumenta exponencialmente en cada vuelta.


Si a un rectángulo áureo le añadimos sobre su lado mayor un cuadrado, obtendremos un nuevo rectángulo de oro, podemos continuar este proceso infinitamente, ahora si en esta sucesión de cuadrados unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados utilizando como centro de la circunferencia otro lado del mismo cuadrado obtendremos una espiral muy cercana a una espiral logarítmica, que ha sido llamada la espiral de Durero

De hecho esta imagen nos muestra que tan parecidas son estas espirales, la espiral verde ha sido obtenida siguiendo el proceso descrito, la roja es una espiral logarítmica y lo amarilla muestra la superposición de ambas

φ tiene muchas más propiedades notables algunas de ellas serian:

La sucesión de Fibonacci

En el siglo XII se dio, después de una gran sequía intelectual un renacimiento en las matemáticas europeas, como consecuencia de la atmósfera cultural de la época escolástica, las universidades y el tesoro matemático que supusieron una gran cantidad de traducciones del árabe al latín y al hebreo, del hebreo al latín e incluso directamente del griego latín, que se estuvieron acumulando desde el siglo pasado, lo que permitió recuperar el conocimiento matemático griego aunado a los logros matemáticos alcanzados en las matemáticas por los árabes e hindúes.

Este renacimiento inicio con Leonardo Pisano, llamado Fibonacci (contracción de filius Bonnaci, hijo de Bonnaci), considerado el más grande de los matemáticos medievales.

Leonardo recorrió África del norte, poniéndose en contacto con las matemáticas árabes .Al regresar a Pisa publica el Liber Abaci (Libro de los ábacos) en el que muestra las ventajas del sistema decimal y las cifras hindus sobre los números romanos, además de atacar el uso de los ábacos y de tratar problemas matemáticos de diversa índole, entre ellos el siguiente: Calcular el número de parejas de conejos que se tendrá al cabo de un año, sabiendo que se ha partido de una sola pareja y que cada pareja a partir de su segundo mes produce mensualmente una pareja.

Este problema da lugar a la siguiente sucesión infinita de números naturales, f0 = 0, f1= 1, f2= 1 , y para fn con n >2 fn = fn-1 + fn-2 , ósea, 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,etc...
que ha pasado a la historia como la sucesión de Fibonacci
Dicha sucesión presenta infinidad de propiedades interesantes.

La suma de n términos es igual a: f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + ... + f n = f (n + 2) - 1

La Suma n términos impares es igual a :f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + ... + f 2n - 1 = f 2n

La Suma de términos pares es igual a:f 2 + f 4 + f 6 + f 8 + ... + f 2n = f 2n + 1 - 1

La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie

Entre muchas otras, aunque la más destacable es sin duda alguna, la siguiente: La relación entre 2 números consecutivos de la serie de fibonacci (dividiendo siempre el mayor entre el menor), tiende al número áureo esto es:

Los números de la sucesión de Fibonacci, tan íntimamente ligados a φ se presentan en múltiples ocasiones en la naturaleza , por ejemplo : en el centro de una margarita se encuentran 2 series de espirales de ellas 21 giran en el sentido de las manecillas del reloj y 34 (21 y 34 son números adyacntes en la serie de Fibonacci)en el opuesto, en la piña del pino se presenta la relación 5:8, entre otros casos, lo más sorprendente es que todo tiene su razón de ser así, de esta manera se apiña el máximo número de semillas en el menor volumen posible.

No es extraño pues el misticismo en el que se ha visto envuelto φ a traves de los siglos.