15.11.06

Problemas de la 20 omm

Esta semana se esta celebrando la vigesima olimpiada mexicana de matematicas ,y visitando la pagina de la sociedad mexicana de matematicas veo que ya subieron los problemas que tuvieron que resolver los alumnos más brillantes de secundaria y preparatoria de México, los primeros 3 se los pusieron el lunes, los otros 3 el martes , para resolver tanto como los problemas del dia 1 y del dia 2 el tiempo limite fue de 4 horas y treinta minutos,es decir 9 horas en total para resolver los 6 problemas ; hay se los dejo , yo mientras voy a ver si los puedo resolver sin ver las respuestas, a ver si sigo freco o si mis neuronas ya se estan muriendo en masa, a ver si esta semana me da tiempo de subirles mis experiencias en la 18 olimpiada mexicana de matematicas hace 3 años, ejem digo 2.

Primer dia
Problema 1.
Sea ab un número de dos dígitos. Un entero positivo n es “pariente” de ab si:
el dígito de las unidades de n también es b,
los otros dígitos de n son distintos de cero y suman a.
Por ejemplo, los parientes de 31 son 31, 121, 211 y 1111.
Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes.

Problema 2.
Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en A, tal que AB < abc =" 60◦.">Problema 3.
Sea n un número entero mayor que 1. ¿De cuántas formas se pueden acomodar todos
los números 1, 2, 3, ..., 2n en las casillas de una cuadrícula de 2×n, uno en cada casilla,
de manera que cualesquiera dos números consecutivos se encuentren en casillas que
comparten un lado en la cuadrícula?
Tiempo máximo del examen: 4 horas y media.

Segundo día
Problema 4.
¿Para qué enteros positivos n puede cubrirse una escalera como la de la figura (pero
con n escalones en vez de 4) con n cuadrados de lados enteros, no necesariamente del
mismo tamaño, sin que estos cuadrados se encimen y sin que sobresalgan del borde
de la figura?
Nota: Cada cuadrito de la figura tiene lado de longitud 1.

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Problema 5.
Sean ABC un trianguló acutángulo y, AD, BE y CF sus alturas. La circunferencia
con diámetro AD corta a los lados AB y AC en M y N, respectivamente. Sean P y
Q los puntos de intersección de AD con EF y MN, respectivamente. Demuestra que
Q es el punto medio de PD.
Problema 6.
Sea n la suma de los dígitos de un entero positivo A. Decimos que A es “surtido” si
cada uno de los enteros 1, 2,..., n es suma de dígitos de A.
1. Demuestra que si 1, 2,..., 8 son sumas de dígitos de un entero A entonces A es
surtido.
2. Si 1, 2,..., 7 son sumas de dígitos de un entero A, ¿es A necesariamente surtido?
Nota: El numeró 117 no es surtido pues sólo 1 = 1, 2 = 1 + 1, 7 = 7, 8 = 1 + 7,
9 = 1 + 1 + 7 se pueden escribir como suma de dígitos de 117.

Tiempo máximo del examen: 4 horas y media.

4 comentarios:

Deux ex machina dijo...

interesante!!!

pèro no se nada de este tipo de matematicas y de niguna..aunke en lam usica tambien hay matematicas pero de orto estilo..

si ahi nos cuentas, si sobreviven neuronas motoras y puedes escribir..

saludos de la makina platonika

Soldado.M dijo...

oooo,,,si yo me acuerdo en mis tiempos mosos ,,cuando fui alas nacionales de maquinaria ,,, por parte de la secu,,,

estaba chido el desmadre,,,conoci a unos cabrones que ya nunca volvi a ver,( eran chidos,,)

Anónimo dijo...

las matemáticas son la cosa más fiel de este mundo,

me declaro enamorada total de ellas.

Anónimo dijo...

Hola!!
yo estuve tratando de resolver esos problemas, no pude con todos , pero lo intente, por desgracia fue mi ultima omm. Yo fui a la 18 OMM, la verdad estuvo chidisisima, todo mundo dice que esa a sido la mejor olimpiadad, sobre todo por el hotel.
Hasta luego....