Primer dia
Problema 1.
Sea ab un número de dos dígitos. Un entero positivo n es “pariente” de ab si:
el dígito de las unidades de n también es b,
los otros dígitos de n son distintos de cero y suman a.
Por ejemplo, los parientes de 31 son 31, 121, 211 y 1111.
Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes.
Problema 2.
Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en A, tal que AB < abc =" 60◦.">Problema 3.
Sea n un número entero mayor que 1. ¿De cuántas formas se pueden acomodar todos
los números 1, 2, 3, ..., 2n en las casillas de una cuadrícula de 2×n, uno en cada casilla,
de manera que cualesquiera dos números consecutivos se encuentren en casillas que
comparten un lado en la cuadrícula?
Tiempo máximo del examen: 4 horas y media.
Segundo día
Problema 4.
¿Para qué enteros positivos n puede cubrirse una escalera como la de la figura (pero
con n escalones en vez de 4) con n cuadrados de lados enteros, no necesariamente del
mismo tamaño, sin que estos cuadrados se encimen y sin que sobresalgan del borde
de la figura?
Nota: Cada cuadrito de la figura tiene lado de longitud 1.
Problema 5.
Sean ABC un trianguló acutángulo y, AD, BE y CF sus alturas. La circunferencia
con diámetro AD corta a los lados AB y AC en M y N, respectivamente. Sean P y
Q los puntos de intersección de AD con EF y MN, respectivamente. Demuestra que
Q es el punto medio de PD.
Problema 6.
Sea n la suma de los dígitos de un entero positivo A. Decimos que A es “surtido” si
cada uno de los enteros 1, 2,..., n es suma de dígitos de A.
1. Demuestra que si 1, 2,..., 8 son sumas de dígitos de un entero A entonces A es
surtido.
2. Si 1, 2,..., 7 son sumas de dígitos de un entero A, ¿es A necesariamente surtido?
Nota: El numeró 117 no es surtido pues sólo 1 = 1, 2 = 1 + 1, 7 = 7, 8 = 1 + 7,
9 = 1 + 1 + 7 se pueden escribir como suma de dígitos de 117.
Tiempo máximo del examen: 4 horas y media.
